www.kreiszahl.at - Berechnungen mit der Zahl PI

Formeln, die $π$ enthalten

Obwohl das Problem der Quadratur des Kreises ein geometrisches ist, spielt $π$ auch in anderen Bereichen der Mathematik und Physik eine wichtige Rolle.

Formeln der Geometrie

In der Geometrie treten die Eigenschaften von $π$ als Kreiszahl unmittelbar hervor.

Umfang eines Kreises mit Radius $r$ : $U = 2π r$
Fläche eines Kreises mit Radius $r$ : $A = π r 2$
Volumen einer Kugel mit Radius $r$ : $V = \frac{4}{3} \pi r^3$
Oberfläche einer Kugel mit Radius $r$ : $A O = 4π r 2$
Volumen eines Zylinders mit Radius $r$ und Höhe $a$ : $V = r 2 π a$
Volumen eines durch die Rotation der Funktion $f (x)$ um die $x$ -Achse definierten beliebigen Drehkörpers mit den Grenzen $a$ und $b$ : $V = \pi \int_a^b f(x)^2 \mathrm{d}x$
Minkowski-Schranke der Geometrie der Zahlen: $\frac{n!}{n^n}\left(\frac{4}{\pi}\right)^{r_2}\sqrt{|\mathrm{disc}\,K|}$

Formeln der Analysis

$π$ spielt daneben in vielen mathematischen Zusammenhängen eine Rolle, zum Beispiel bei

unendlichen Reihen: $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$ (Euler, s. auch Riemannsche ζ-Funktion)
der Gaußschen Glockenkurve: $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \mathrm{d}x = \sqrt\pi$
der Stirling-Formel als Näherung der Fakultät für große $n$ : $n! \approx \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n$
der Fourier-Transformation: $\mathcal{F}f(\omega)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty f(t) e^{-i \omega t} \,\mathrm{d} t$
der Eulerschen Identität: $e i π + 1 = 0$

Die Eulersche Identität als Kombination von $π$ , der ebenfalls irrationalen Eulerschen Zahl $e$ , der imaginären Einheit $i$ und der beiden grundlegenden Zahlen 0 und 1 wird als eine der schönsten mathematischen Formeln angesehen.

Formeln der Zahlentheorie

Die relative Häufigkeit, dass zwei zufällig gewählte natürliche Zahlen, die kleiner einer Schranke $M$ sind, teilerfremd sind, strebt mit $M \rightarrow \infty$ gegen $\frac{6}{\pi^2}$ .

Formeln der Physik

In der Physik spielt $π$ neben

der Kreisbewegung: $ω = 2π f$ (Winkelgeschwindigkeit gleich $2π$ mal Umlauffrequenz)

vor allem bei Wellen eine Rolle, da dort $π$ über die Sinus- und Kosinusfunktion eingeht. Somit also zum Beispiel

in der Quantenmechanik: $\Delta x \Delta p \ge \frac{h}{4 \pi}$ (Heisenbergsche Unschärferelation).

http://3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592.at

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